எண்களை எண்ணிப் பார்க்கிறேன்...
எப்பொழுதிலிருந்து எண்கள் என்னை வசீகரித்தன என்று தெரியவில்லை. ஆனால், இன்னும் எனக்குப் புதிரான ஒன்று என்றால் அது இந்த எண்கள்தான். இன்னமும் அதன் மீதான வியப்பும் ஆச்சர்யமும் எனக்குள்ளே இருக்கின்றன. யார் கண்டு பிடித்திருப்பார்கள் இந்த எண்களை? அல்லது எண்களே தங்களை நமக்குக் காட்டிக் கொண்டனவா? எப்படி அவற்றிற்கான மதிப்புகள் நம் நினைவில் தோன்றின? எங்கே தொடங்குகின்றன? எங்கே முடிகின்றன? அவைகளுக்குள்தான் எத்தனையெத்தனை மர்மங்கள்.... எத்தனையெத்தனை தொடர்புகள்...!
எனக்கு எண்களை முதன் முதலில் போதித்தது யார் என்று நினைவில் இல்லை. ஆனால், கணக்குப் போடுவதற்கு ரூபாய் நாணயங்களை வைத்து என் தந்தை சொல்லிக்கொடுத்தது நினைவில் இருக்கின்றது. அதன் பின்னர் இரண்டாம் வகுப்பில் பெருக்கல் வாய்ப்பாடு படித்தது நினைவில் இருக்கின்றது. அப்பொழுதெல்லாம் குருட்டு மனப்பாடம்தான். எல்லோரையும் உட்காரவைத்து... ஒவ்வொருவராக முன்னால் வந்து சத்தம் போட்டு சொல்லவேண்டும். அதனை மற்றவர் திருப்பிச் சொல்லவேண்டும். திரும்பத் திரும்பச் சொல்கையில் அது மனப்பாடம் ஆகிவிடும் என்பது தாத்பர்யம்.
ஆனால், எனக்கென்னவோ அப்படி மனப்பாடம் ஆகவில்லை. மாறாக, ஒருமுறை புரிந்துகொண்டுவிட்டால் அது எனக்கு எளிதாக என் வசப்பட்டுவிடும். ஆகையால் இது என்ன அடிப்படையில் இப்படி வருகின்றது... என்று யோசிக்கத் துவங்கினேன். கூட்டலின் அடுக்குகள்தான் பெருக்கல் மதிப்புகள் என்பது அந்த வருடமே பிடிபட்டுப் போனது. அதன் பின்னர் மனனம் எளிதானது போல் தெரிந்தது. ஒன்பதாம் வாய்ப்பாடுதான் அனைவருக்கும் ததிங்கினத்தோம் போட்டது. அதற்கும் ஒரு வழி எனக்கு மூன்றாம் வகுப்பில் பிடிபட்டது. இரட்டை இலக்கங்களில் பத்தினிடத்தில் உள்ளது ஏறுவரிசையிலும், ஒன்றினிடத்தில் உள்ளது இறங்குவரிசையிலும் இருப்பதைக் கண்டேன்.
அதாவது 09, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90... இதில் பத்தின் இடத்தில் உள்ள எண்கள் 0ல் இருந்து ஏறுவரிசையிலும், ஒன்றின் இடத்தில் இருக்கும் எண்கள் 9ல் இருந்து இறங்கு வரிசையில் அமைந்திருப்பதையும் கண்டேன். அவ்வளவுதான்... எண்கள் குறித்த அதிசயங்களை அடுத்தடுத்து தேடத்துவங்கினேன். ஆனால், அது ஐந்தாம் வகுப்பில் இருந்துதான் சாத்தியமானது. காரணம், மூன்றாம் நான்காம் வகுப்புகளில் தமிழ் என்னை ஆட்கொண்டிருந்தது. அருமையான பாடத்திட்ட அமைப்புகள். எளிய புணர்ச்சி விதிகள், சந்திகள், சாரியைகள் எல்லாம் என்வென்றே தெரியாமல் எனக்குள் புகுந்து கொண்டிருந்தன.
ஐந்தாம் வகுப்பில் புதிய பள்ளி, புது ஆசிரியைகள். தமிழும் கணிதமும் இனிமையாகவே இருந்தன. பகுவெண் பகாவெண்கள் எல்லாம் அப்பொழுதுதான் அறிமுகமாகின. நான் படித்தது ஆங்கிலவழிக்கல்வியில்தான் எனினும் தமிழ்மேல் உள்ள தனியாத காதலினால் எல்லாவற்றிற்குமான நிகர்ச்சொற்களை தமிழில் அறிந்து வைத்திருப்பேன். அதனால் தமிழிலேயே தருகிறேன். எண்களில் நான் வியந்தவைகளில் சிலவற்றை பின்னே தருகிறேன். அதற்கு முன்னர் நான் கடநது வந்தவைகளைச் சொல்லி விடுகிறேன்.
-----21.10.13-----
ஒன்பதாம் வகுப்பு வரையில் எண்கள் பலவிதப் பரிமாணங்கள் காட்டி என்னை வசீகரித்துக்கொண்டே இருந்தன. எண்கள் எங்கே துவங்குகின்றன.... எங்கே முடிகின்றன? யாருக்குமே தெரியவில்லை. அட, இரண்டு முழு எண்களை எடுத்துக்கொண்டால்... ஒன்றிற்கு அடுத்து இரண்டு என்று சொல்லிவிட்டுப் போகலாம் என்று பார்த்தால், அதுவும் முடியவில்லை. ஒன்றிற்கும் இரண்டிற்கும் இடையே எண்ணற்ற எண்கள் பின்னங்களாக... முடிவிலியாக... என்னதான் செய்வோம் நாம்? எப்பொழுதுதான் முழுமையாக உணர்வோம் இதை?
அதனால்தான் கிரேக்கர்கள் கணிதத்தைக் கடவுளின் மொழி என்று சொன்னார்கள் போலும். கடவுளின் செயல்பாடுகளாகச் சொல்லப்படுபவைகளையெல்லாம் கணிதச் சூத்திரங்களாகத்தான் நாம் மொழிபெயர்த்துக்கொண்டிருக்கிறோம். மனிதத் தவறுகள் இருக்கலாமே தவிர, மற்றபடி அது மாறுதலுக்குட்படவே படாது.
ஃபிபனாச்சி எண்கள் (Fibonacci Numbers)
இது எனக்கு என் பதினோறாம் வகுப்பில் அறிமுகமானது. கணிணி மொழியாம் C என்ற மொழியின் அளப்பறிய ஆற்றலை வியக்கத் துவங்கிய தருணம் அது. அதனைப் பயன்படுத்தி பல்வேறு எண் தொடர்களையும், தொடர்களின் கூட்டுத்தொகையையும், பாஸ்கல் முக்கோணத்தையும் இன்னபிற கணித அமைப்புகளையும் ஆர்வமுடன் அமைத்து விளையாடிக்கொண்டிருப்போம். அப்பொழுது எனக்கு இந்த ஃபிபனாச்சி எண்கள் வெறும் தொடராக மட்டுமே தெரியும். அந்தத் தொடரின் தொடர்பை மட்டுமே வியந்து கொண்டிருந்தேன். அதனைத் தாண்டிச் சிந்திக்கவோ, அதன் பயன்பாடு என்னவோ என்று அறிய முயலவேயில்லை அப்பொழுது. (அதற்காகப் பிற்பாடு வருந்தியிருக்கிறேன்.) காரணம், எனது பதினொன்று மற்றும் பனிரெண்டாம் வகுப்பின் கணித ஆசிரியர். கணக்கு என்றாலே வெறுப்பு என்றாகும்படி செய்து விட்டார் என்னை.
அடுத்த நான்கு வருடங்கள் கழித்துதான்... கல்லூரியை விட்டு வெளியே வந்தபின்னர்தான் என்னால் எனக்காகப் படிக்க முடிந்தது. அதுவரையில் மதிப்பெண்களுக்காகப் படிக்க வேண்டியிருந்ததால் எதனையும் ஆர்வத்தோடு படித்ததேயில்லை. அப்படித் தேடித்தேடிப் படிக்கும்பொழுதுதான், இந்த ஃபிபனாச்சி எண்களின் சிறப்பினை உணர முடிந்தது.
ஃபிபனாச்சி எண்கள் என்பது இதன் தொடரில் ஒரு மூன்று எண்களை மட்டும் எடுத்துக்கொண்டு பார்த்தால், அடுத்தடுத்து வரும் முதல் இரண்டு எண்களின் கூட்டுத்தொகையே தொடரின் மூன்றாவது எண்ணாக அமையும். அதாவது, 1,1,2,3,5,8,13,....... என்று தொடர் நீண்டு கொண்டே போகும். இதில் ஏதேனும் மூன்று எண்களை எடுத்துக்கொண்டால், உதாரணமாக 3,5,8 -> 3+5=8, 5,8,13 -> 5+8=13 என்று அமையும். அவ்வாறே ஃபிபனாச்சி தொடரும் நீளும்.
ஏறக்குறைய மூன்றாம் நூற்றாண்டினைச் சேர்ந்த பிங்களர் என்பவரால் சமசுகிருதத்தில் எழுதப்பட்ட 'சந்தஸ் சாஸ்திரம்' என்ற நூலில் இது 'மாத்ரா மேரு' என்று சொல்லப்பட்டிருக்கின்றதாம். அதன் பின்னர் பல்வேறு காலகட்டத்திலும் இது நம் நாட்டில் எடுத்தாராயப்பட்டிருந்தாலும், Leonardo Pisano Bigollo என்னும் இத்தாலியக் கணிதவியலார் 1202ம் வருடம் தனது 'Liber Abaci' என்னும் நூலில் முயல்களின் இனப்பெருக்கத்தினை கணிதப்படுத்தும் ஒரு முயற்சியில் இந்த எண்தொடரை எடுத்தாண்டிருக்கும் காரணத்தினாலேயே மேற்கத்திய நாடுகளில் இத்தொடரும் அந்த எண்களும் இவர் பெயராலேயே அழைக்கப்பட்டு, இன்று நாமும் அப்படியே அவர் பெயராலேயே சொல்லிக்கொண்டிருக்கிறோம். (மன்னிக்கவும் வாக்கியம் சற்றே நீண்ட தொடர்வாக்கியமாக அமைந்துவிட்டது.) இவரே மேற்கத்திய நாடுகளுக்கு நாம் பயன்படுத்தும் இந்தோ-அரேபிய எண்களை அறிமுகப்படுத்தியவர்.
சரி, இந்த எண்களின், இந்தத் தொடரின் சிறப்புதான் என்ன? இயற்கையின் படைப்புகளில் இந்த எண்களின் பங்கு பரவலாகப் பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளது. பூவிதழ்களின் அடுக்குகள், இலைகளின் அடுக்குகள், மரங்களின் கிளைகள், அன்னாசிப் பழத்தின் கனி அடுக்குகள், ஏன், மனிதப் படைப்பிலும் அது தங்கவிகிதாச்சாரமாகப் பயன்படுத்தப்பட்டிருக்கின்றது. (Golden Ratio, Golden Mean, Golden Section, Medial Section, Divine Proportion, Divine Section என்றெல்லாம் அழைக்கப்படும் இந்த தங்கவிகிதாச்சாரத்தைப் பற்றித் தனியே சொல்கிறேன்.)
இணைப்பில் உள்ள சில படங்களைப் பாருங்கள். இயற்கையின் கணிதத் தொடர்பை வியக்கலாம். இதிலெல்லாம்தான் கடவுள் தன் இருப்பையும் தன் மேதாவித்தனத்தையும் வெளிப்படுத்துகிறார்.
படங்கள் எடுக்கப்பட்ட தளங்களின் இணைப்புhttp://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/passionBACK.jpghttp://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/seedspirals.gifhttp://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/pinecone3.gif
மேலும், விரிவான விளக்கங்களுக்கு இந்த சில இணைப்புகளையும் பாருங்கள்.http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/fibnat.htmlhttp://momath.org/home/fibonacci-numbers-of-sunflower-seed-spirals/http://britton.disted.camosun.bc.ca/fibslide/jbfibslide.htm
-----23.10.13-----
.... தொடரும்.
எனக்கு எண்களை முதன் முதலில் போதித்தது யார் என்று நினைவில் இல்லை. ஆனால், கணக்குப் போடுவதற்கு ரூபாய் நாணயங்களை வைத்து என் தந்தை சொல்லிக்கொடுத்தது நினைவில் இருக்கின்றது. அதன் பின்னர் இரண்டாம் வகுப்பில் பெருக்கல் வாய்ப்பாடு படித்தது நினைவில் இருக்கின்றது. அப்பொழுதெல்லாம் குருட்டு மனப்பாடம்தான். எல்லோரையும் உட்காரவைத்து... ஒவ்வொருவராக முன்னால் வந்து சத்தம் போட்டு சொல்லவேண்டும். அதனை மற்றவர் திருப்பிச் சொல்லவேண்டும். திரும்பத் திரும்பச் சொல்கையில் அது மனப்பாடம் ஆகிவிடும் என்பது தாத்பர்யம்.
ஆனால், எனக்கென்னவோ அப்படி மனப்பாடம் ஆகவில்லை. மாறாக, ஒருமுறை புரிந்துகொண்டுவிட்டால் அது எனக்கு எளிதாக என் வசப்பட்டுவிடும். ஆகையால் இது என்ன அடிப்படையில் இப்படி வருகின்றது... என்று யோசிக்கத் துவங்கினேன். கூட்டலின் அடுக்குகள்தான் பெருக்கல் மதிப்புகள் என்பது அந்த வருடமே பிடிபட்டுப் போனது. அதன் பின்னர் மனனம் எளிதானது போல் தெரிந்தது. ஒன்பதாம் வாய்ப்பாடுதான் அனைவருக்கும் ததிங்கினத்தோம் போட்டது. அதற்கும் ஒரு வழி எனக்கு மூன்றாம் வகுப்பில் பிடிபட்டது. இரட்டை இலக்கங்களில் பத்தினிடத்தில் உள்ளது ஏறுவரிசையிலும், ஒன்றினிடத்தில் உள்ளது இறங்குவரிசையிலும் இருப்பதைக் கண்டேன்.
அதாவது 09, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90... இதில் பத்தின் இடத்தில் உள்ள எண்கள் 0ல் இருந்து ஏறுவரிசையிலும், ஒன்றின் இடத்தில் இருக்கும் எண்கள் 9ல் இருந்து இறங்கு வரிசையில் அமைந்திருப்பதையும் கண்டேன். அவ்வளவுதான்... எண்கள் குறித்த அதிசயங்களை அடுத்தடுத்து தேடத்துவங்கினேன். ஆனால், அது ஐந்தாம் வகுப்பில் இருந்துதான் சாத்தியமானது. காரணம், மூன்றாம் நான்காம் வகுப்புகளில் தமிழ் என்னை ஆட்கொண்டிருந்தது. அருமையான பாடத்திட்ட அமைப்புகள். எளிய புணர்ச்சி விதிகள், சந்திகள், சாரியைகள் எல்லாம் என்வென்றே தெரியாமல் எனக்குள் புகுந்து கொண்டிருந்தன.
ஐந்தாம் வகுப்பில் புதிய பள்ளி, புது ஆசிரியைகள். தமிழும் கணிதமும் இனிமையாகவே இருந்தன. பகுவெண் பகாவெண்கள் எல்லாம் அப்பொழுதுதான் அறிமுகமாகின. நான் படித்தது ஆங்கிலவழிக்கல்வியில்தான் எனினும் தமிழ்மேல் உள்ள தனியாத காதலினால் எல்லாவற்றிற்குமான நிகர்ச்சொற்களை தமிழில் அறிந்து வைத்திருப்பேன். அதனால் தமிழிலேயே தருகிறேன். எண்களில் நான் வியந்தவைகளில் சிலவற்றை பின்னே தருகிறேன். அதற்கு முன்னர் நான் கடநது வந்தவைகளைச் சொல்லி விடுகிறேன்.
-----21.10.13-----
ஒன்பதாம் வகுப்பு வரையில் எண்கள் பலவிதப் பரிமாணங்கள் காட்டி என்னை வசீகரித்துக்கொண்டே இருந்தன. எண்கள் எங்கே துவங்குகின்றன.... எங்கே முடிகின்றன? யாருக்குமே தெரியவில்லை. அட, இரண்டு முழு எண்களை எடுத்துக்கொண்டால்... ஒன்றிற்கு அடுத்து இரண்டு என்று சொல்லிவிட்டுப் போகலாம் என்று பார்த்தால், அதுவும் முடியவில்லை. ஒன்றிற்கும் இரண்டிற்கும் இடையே எண்ணற்ற எண்கள் பின்னங்களாக... முடிவிலியாக... என்னதான் செய்வோம் நாம்? எப்பொழுதுதான் முழுமையாக உணர்வோம் இதை?
அதனால்தான் கிரேக்கர்கள் கணிதத்தைக் கடவுளின் மொழி என்று சொன்னார்கள் போலும். கடவுளின் செயல்பாடுகளாகச் சொல்லப்படுபவைகளையெல்லாம் கணிதச் சூத்திரங்களாகத்தான் நாம் மொழிபெயர்த்துக்கொண்டிருக்கிறோம். மனிதத் தவறுகள் இருக்கலாமே தவிர, மற்றபடி அது மாறுதலுக்குட்படவே படாது.
ஃபிபனாச்சி எண்கள் (Fibonacci Numbers)
இது எனக்கு என் பதினோறாம் வகுப்பில் அறிமுகமானது. கணிணி மொழியாம் C என்ற மொழியின் அளப்பறிய ஆற்றலை வியக்கத் துவங்கிய தருணம் அது. அதனைப் பயன்படுத்தி பல்வேறு எண் தொடர்களையும், தொடர்களின் கூட்டுத்தொகையையும், பாஸ்கல் முக்கோணத்தையும் இன்னபிற கணித அமைப்புகளையும் ஆர்வமுடன் அமைத்து விளையாடிக்கொண்டிருப்போம். அப்பொழுது எனக்கு இந்த ஃபிபனாச்சி எண்கள் வெறும் தொடராக மட்டுமே தெரியும். அந்தத் தொடரின் தொடர்பை மட்டுமே வியந்து கொண்டிருந்தேன். அதனைத் தாண்டிச் சிந்திக்கவோ, அதன் பயன்பாடு என்னவோ என்று அறிய முயலவேயில்லை அப்பொழுது. (அதற்காகப் பிற்பாடு வருந்தியிருக்கிறேன்.) காரணம், எனது பதினொன்று மற்றும் பனிரெண்டாம் வகுப்பின் கணித ஆசிரியர். கணக்கு என்றாலே வெறுப்பு என்றாகும்படி செய்து விட்டார் என்னை.
அடுத்த நான்கு வருடங்கள் கழித்துதான்... கல்லூரியை விட்டு வெளியே வந்தபின்னர்தான் என்னால் எனக்காகப் படிக்க முடிந்தது. அதுவரையில் மதிப்பெண்களுக்காகப் படிக்க வேண்டியிருந்ததால் எதனையும் ஆர்வத்தோடு படித்ததேயில்லை. அப்படித் தேடித்தேடிப் படிக்கும்பொழுதுதான், இந்த ஃபிபனாச்சி எண்களின் சிறப்பினை உணர முடிந்தது.
ஃபிபனாச்சி எண்கள் என்பது இதன் தொடரில் ஒரு மூன்று எண்களை மட்டும் எடுத்துக்கொண்டு பார்த்தால், அடுத்தடுத்து வரும் முதல் இரண்டு எண்களின் கூட்டுத்தொகையே தொடரின் மூன்றாவது எண்ணாக அமையும். அதாவது, 1,1,2,3,5,8,13,....... என்று தொடர் நீண்டு கொண்டே போகும். இதில் ஏதேனும் மூன்று எண்களை எடுத்துக்கொண்டால், உதாரணமாக 3,5,8 -> 3+5=8, 5,8,13 -> 5+8=13 என்று அமையும். அவ்வாறே ஃபிபனாச்சி தொடரும் நீளும்.
ஏறக்குறைய மூன்றாம் நூற்றாண்டினைச் சேர்ந்த பிங்களர் என்பவரால் சமசுகிருதத்தில் எழுதப்பட்ட 'சந்தஸ் சாஸ்திரம்' என்ற நூலில் இது 'மாத்ரா மேரு' என்று சொல்லப்பட்டிருக்கின்றதாம். அதன் பின்னர் பல்வேறு காலகட்டத்திலும் இது நம் நாட்டில் எடுத்தாராயப்பட்டிருந்தாலும், Leonardo Pisano Bigollo என்னும் இத்தாலியக் கணிதவியலார் 1202ம் வருடம் தனது 'Liber Abaci' என்னும் நூலில் முயல்களின் இனப்பெருக்கத்தினை கணிதப்படுத்தும் ஒரு முயற்சியில் இந்த எண்தொடரை எடுத்தாண்டிருக்கும் காரணத்தினாலேயே மேற்கத்திய நாடுகளில் இத்தொடரும் அந்த எண்களும் இவர் பெயராலேயே அழைக்கப்பட்டு, இன்று நாமும் அப்படியே அவர் பெயராலேயே சொல்லிக்கொண்டிருக்கிறோம். (மன்னிக்கவும் வாக்கியம் சற்றே நீண்ட தொடர்வாக்கியமாக அமைந்துவிட்டது.) இவரே மேற்கத்திய நாடுகளுக்கு நாம் பயன்படுத்தும் இந்தோ-அரேபிய எண்களை அறிமுகப்படுத்தியவர்.
சரி, இந்த எண்களின், இந்தத் தொடரின் சிறப்புதான் என்ன? இயற்கையின் படைப்புகளில் இந்த எண்களின் பங்கு பரவலாகப் பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளது. பூவிதழ்களின் அடுக்குகள், இலைகளின் அடுக்குகள், மரங்களின் கிளைகள், அன்னாசிப் பழத்தின் கனி அடுக்குகள், ஏன், மனிதப் படைப்பிலும் அது தங்கவிகிதாச்சாரமாகப் பயன்படுத்தப்பட்டிருக்கின்றது. (Golden Ratio, Golden Mean, Golden Section, Medial Section, Divine Proportion, Divine Section என்றெல்லாம் அழைக்கப்படும் இந்த தங்கவிகிதாச்சாரத்தைப் பற்றித் தனியே சொல்கிறேன்.)
இணைப்பில் உள்ள சில படங்களைப் பாருங்கள். இயற்கையின் கணிதத் தொடர்பை வியக்கலாம். இதிலெல்லாம்தான் கடவுள் தன் இருப்பையும் தன் மேதாவித்தனத்தையும் வெளிப்படுத்துகிறார்.
படங்கள் எடுக்கப்பட்ட தளங்களின் இணைப்புhttp://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/passionBACK.jpghttp://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/seedspirals.gifhttp://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/pinecone3.gif
மேலும், விரிவான விளக்கங்களுக்கு இந்த சில இணைப்புகளையும் பாருங்கள்.http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/fibnat.htmlhttp://momath.org/home/fibonacci-numbers-of-sunflower-seed-spirals/http://britton.disted.camosun.bc.ca/fibslide/jbfibslide.htm
-----23.10.13-----
.... தொடரும்.